3월 처음으로 작성한 공문은 전문적학습공동체 회원을 모집한다는 공문이었습니다.
수학하는즐거움 자료로 수업을 진행하고 수업을 참관하며 함께 나누는 선생님들을 모집하는 일이었죠.
감사하게도 여러 선생님들이 신청하셔서 오늘 처음으로 수업을 공개하고 나누는 자리가 진행되었습니다.(첨부파일의 학습지로 수업이 진행되었습니다.)
오늘 수업은 1단원 수업이 끝나고 처음으로 2단원 수업이 시작되는 날이었습니다.
교과서의 흐름과 달리 다항식의 전개도 다루지 않은채 학생들에게 흥미로울 소재를 바탕으로 인수분해의 필요성을 느끼게 하는 것이 가장 중요한 목표였으며, 이를 진행하는 과정에서 이차함수, 일차함수, 대응표, 그래프, 대입, 이차방정식, 일차방정식 등의 개념이 자연스럽게 스며들어 다양하게 연결짓고 폭넓게 사고할 수 있도록 돕고 싶었습니다.
이를 위해서 붕어빵 점포를 내고 싶어하는 지우의 이야기를 소개하였습니다.
이차함수의 관계를 가지는 붕어빵 1개 가격과 수익을 계산해 보게 하고 좌표평면에 나타내 보게도 합니다.
그리고 언제 수익이 날지 이야기 해보도록 하죠.
200원에서 600원 사이라고 대답하는 학생들도 있었고, 100원에서 200원 사이 어느 지점보다는 커야 한다고 말하는 학생도 있었습니다.
그래프를 점만 찍은 학생도 있었고, 선으로 이어 표현한 학생들도 있었죠.
좀 더 구체적인 답을 요구하자 학생들은 150원과 650원이 아닐까 추측하기도 했습니다.(실제 이 값이 맞습니다.)
그리고 정확하게 구하기 위해서는 어떻게 해야할지 발문하며, 수익을 붕어빵1개가격(x)로 표현하기를 요구하였습니다.
학생들은 그렇게 식을 세웠고, 150과 650을 대입해보며 실제 0이 나오는지 확인하고 자신의 추측이 맞았음을 확인하였습니다.
하지만 대입과 추측으로 해를 맞추는 것은 좋은 방법이 아니며, 그러한 어려움으로 인해 새로운 방법이 필요하다는것, 그리고 도움이 되는 방법을 접함으로써 해당 방법을 배울 필요를 느끼는 것. 즉 인수분해가 배울 가치가 있음을 인식하게 만들고자 했습니다.
그래서 위와 같은 학습자료가 뒤따릅니다.
지우가 만든 식은 우리가 만든 식(-x^2+800x-97500)과는 다릅니다. 그러나 지우가 만든 식에 대입하며 수익을 구해보면 질문1에서 채웠던 표와 동일하게 수익이 계산되는 것을 확인할 수 있습니다.
그 과정에서 표현은 다르지만 두 식은 동일한 식이라는 것을 어렴풋이 알 수 있게 됩니다.
그러면서 지우가 쓴 식은 수익이 0이되는 값을 찾기 쉽다는 장점을 가집니다.
그렇기 때문에 지우가 쓴 것처럼 식을 변환할 수 있기를 기대하게 되며, 인수분해가 왜 필요한지에 대해 학생들이 깨달을 수 있게 될 것입니다.
그러나 의도처럼 학생들은 인수분해의 필요성을 바로 인식하지 못했습니다.
(-x^2+800x-97500) 이 식에 150이나 650을 대입했던 직전의 경험과 인수분해된 식에 대입하는 경험의 차이로 질문4의 표에 수익을 구하는 과정이 비교적 쉽게 느껴진듯 합니다.
그로인해 학생들은 질문5에 대부분 수익을 계산하기 쉽기 때문에 지우가 식을 변형한 것이라며 이유를 밝혔습니다.
의도치 않게 잦은 계산이 학생들이 수업에 참여하는 것(모든 학생이 참여가 가능한 수준의 문제이며 돈과 관련된 비교적 친숙하게 여겨질 소재라는 점.)을 도왔지만, 본질적으로 추구하고자 했던 인수분해의 필요성을 느끼게 하는 데는 다소 부정적인 영향을 미치기도 했습니다.
하지만 모두 부정적인 면만 존재하진 않았습니다. AB=0이 되려면 A=0이나 B=0이 되어야 한다는 사실을 의외로 학생들은 이해하지 못하는 경우가 발생하는데, 질문4에서 직접 여러번 대입을 통해 각각의 괄호 안의 결과를 곱해보는 경험이 진행됨으로써, x-150에서 x가 150이 되면 수익이 0이 될 것이라는 것을 보다 쉽게 이해하는 느낌을 받을 수 있었습니다.
학생들이 인수분해의 필요성을 인식하는 것을 실패한 이유는 질문4가 수익을 구하는 활동으로 여겨진 면이 분명 있습니다. 질문4의 의도는 수익을 구하려는 활동이 아니었습니다. 우리가 구한식과 지우가 구한식이 동일하다는 것을 확인하기 위한 과정이었습니다. 아직 다항식의 전개를 배우지 않은 입장에서 인수분해된 식과 되지 않은 식이 동일하다는 것을 확인하기 위해 붕어빵 1개의 값이 100원부터 900원까지 다양한 값을 넣어도 항상 두 식에서 수익이 동일한 값으로 나온다는 것을 확인하는 일이었죠.
하지만 학생들에게는 수익을 계산하고 올바른 답을 구하는 일 자체가 목적이 되어버렸습니다.
질문4와 질문5사이에 잠시 쉬어갈 필요가 있어 보입니다. 인수분해되어 있는 식을 보고 수익이 0원이 되는 붕어빵을 구해보라는 추가 과제를 제시하는 것이 좋을 것 같습니다. 사실 처음에는 이러한 발문을 진행할 계획이었으나, 이 발문을 진행하고 나면 질문5의 답을 모두 해주는 것만 같은 느낌이 들어 제외하였는데, 학생들이 수익의 계산에만 몰두하는 현상을 해소할 방법이 필요해 보입니다.
150과 650을 직접 질문3에서 대입하며 수익이 0이 됨을 확인해버린 것이 추가적으로 수익이 0이되는 값을 찾아야한다는 필요성을 사라지게 만들어 버린 듯 합니다.
식을 적절히 변형하여, x절편을 대입을 통해서는 찾기 아주 어려운 식으로 바꾸는 것이 더욱 효과적일 것 같다는 생각이 들었습니다.
그래서 질문3에서 충분히 x절편을 추측해보고, 여러번 대입해보면서 지속적으로 수익이 0이되는 값을 찾는 것을 실패하게 만든 것입니다. 동일하게 질문 4와 질문5를 접하며, 수익이 0이되는 지점을 인수분해된 식을 바탕으로 찾아보게 한다면 학생들에게 인수분해의 필요성이 더욱 부각될 것으로 예상됩니다.
올해 총 6번의 수업나눔을 계획하고 있습니다.
특별한 계획보다는 먼저 실행해보자는 마음으로 열었던 첫 번째 모임에, 그래도 많은 선생님들이 참여해주시고 적극적으로 수업에 대해 대화를 나누어, 준비가 부족했을 모임임에도 의미있고 유익한 시간이었습니다.
4년의 공백을 거치고 오랜만에 하는 수업임에도 두려움 없이 수업을 나눌 수 있었던 것은 수업에 대한 나의 목표가 분명하다는 점과 목표를 현실로 이루는 것은 항상 가능한 일은 아니라는 것을 인정하고 있기 때문이라는 생각이 들었습니다.
수업에 대한 목표가 분명하기에 다른 사람의 의견이 나의 목표에 부합하는지 아닌지 구분할 수 있게 되어, 내 목표에 부합하지 않는 의견을 정중히 거절할 수 있고, 부합하는 의견을 나에게 보탬이 되도록 사용할 수 있게 됩니다. 따라서 상처받지 않으며, 성장할 수 있는 시간으로 수업을 공개하고 나눌 수 있었습니다.
그리고 수업에서 제 목표는 항상 도달가능하지 않다고 스스로 인정하고 있습니다. 다만 그 가능성을 높이기 위해 고민하고 노력할 뿐이죠. 그러한 입장에서 완벽한 수업이 아닌 성장가능한 수업을 지향합니다. 이번 수업을 통해서 많이 느꼈습니다. 올해 수업을 줄곧 수학하는 즐거움을 통해 수업을 진행했지만, 오늘처럼 수업에 대해 고민하고 나누며 수업을 개선할 수 있는 방법을 찾은 적은 없습니다. 3월 한달 간 숱한 수업에서 분명 부족하고 아쉬운 점은 많았지만, 성찰하지 못했습니다. 그저 아쉬움을 남겨놓을 뿐이었습니다. 하지만 오늘은 수업에서 느낀 아쉬움, 의도와 다르게 반응한 학생들을 함께 살피고 나누면서, 학생들을 수업의 목표에 더 가깝게 만들 수 있는 대안들을 모색해 볼 수 있는 의미있는 시간이 되었습니다.
수학적 발견을 하도록 기다려주는 일이 참 많이 힘든 일임에도 불구하고, 선생님께서는 많이 기다려 주셨습니다. 학생들이 "아"하고 깨닫는 순간이 올 수 있도록 배려하고, 먼저 알려주시기 보다 최대한 학생들이 스스로 생각해낼 수 있도록 노력하시는 모습이 선생님께서 원하시는 '수학을 배우는 즐거움을 깨닫는 수업'의 목표와 부합해 보였습니다. 학생들이 서로 대화할 수 있도록 유도하기 위해 과제를 분담해서 해결해 보라는 제안이 서로 아무 말 없이 각자의 과제만 하고 있던 친구들이 서로의 학습에 끼어들게 해주신 것 같습니다. 계산을 해서 구하는 것을 통해 시도해 볼 만한 과제를 주시고, 또 식을 만들고 그래프 그리는 것, 이차식의 인수분해 된 식과의 관계 등을 통해 여러 수학적 개념이 연결될 수 있다는 흐름이 보였습니다. 기초학력의 친구가 결국 제 나름의 학습을 해내는 것을 보고, 반가웠습니다. 과제의 숫자가 단순하고 쉬운 것이였다면 그 친구가 그렇게 뿌듯해하지 못했을거 같습니다. 수업을 열어주셔서 제 수업과 학생들을 생각해볼 수 있는 기회를 주셔서 감사합니다.
성취에 대한 의욕은 비슷하다는 생각을 합니다. 누구나 할 수 있는, 나만 하지 못하던 걸 성취하게 되는것은 큰 의미를 부여하지 못하고, 동기를 유발하기에도 어려움이 있는 듯해요. 기초학력이 부족한 학생들에게도 지금 배워야하는 과제를 수행하는 과정에서 적절한 성취경험을 맞보게 해주는 것이 필요하지 않을까 하는 고민도 하곤합니다.
학생들의 배움을 불러 일으키기 위해 노력하시는 모습을 보고 많은 것을 느꼈습니다. 수학이라는 과목이 다른 과목보다 흥미를 느끼기 쉽지 않은 것 같습니다. 그렇기에 더욱더 노력해야 한다는 것을 알고 있었지만 쉽지 않았습니다. 그래도 이 수업을 참관하고 나눔을 통해 다시 적극적으로 도전해보려 합니다. 수업에서 사용했던 포스트잇은 정말 인상적이었습니다. 특히, 교사가 제공한 발판을 통해 그 전과 후가 달라질 수 있다는 것을 이론이 아닌 실제 상황에서 지켜볼 수 있었습니다. 그리고 교과서 순서로 가르치는 방식이 아닌 실생활부터 시작하여 이차함수(용어를 언급하지는 않았습니다.), 이차방정식(0을 찾게 해주는 숫자 발견), 인수분해(발견을 쉽게 하기 위해 식을 변형), 전개(등식이 성립함을 확인) 순서로 수업을 진행하려는 의도가 신기했습니다. 수업을 시작하기 전에는 가능할까? 교과서 순서가 아니어도 될까? 라는 의문을 가졌지만 결국 가능하다는 것을 봤습니다. 학생들이 수동적으로 수업을 듣는 것이 아니라 오히려 적극적으로 참여하는 모습에서 재구성의 필요성을 다시 한번 느낄 수 있었습니다. 비록 중간에 계산이 많았던 점(개인적으로 생각한 점), 최대 이익이 아니라 손익분기점을 강조해야 한다는 점, 학생이 서로 도와주는 상황에서 교사의 핵심적인 설명을 놓칠 수 있다는 점 등 아쉬운 부분이 있었습니다. 하지만 수업은 완벽할 수 없으며 지속적으로 개선할 수 밖에 없다는 점을 고려한다면 매우 뜻깊은 시간이었던 것 같습니다. 정말 감사드립니다!
매 순간 선택의 기로에 섭니다. 수업 역시 작은 선택의 반복들의 결과겠구요. 순간적인 선택을 보다 잘하기 위해서 자신을 돌아보고 성찰하는 경험의 누적이 필요하겠다는 생각을 다시하게 됩니다. 오늘의 수업도 순간적인 선택으로 계획과 달라진 부분들도 있었고, 손익분기로 포커싱하고자 했으나 학생들의 반응이 의도와 다르게 흐르기도 했죠.
학생이 도와주는 과정에서 제 설명을 놓친 상황을 수업하는 도중에 저는 인지하지 못했습니다. 둘이 도움을 주고 받고 있었는지, 설명을 듣지 않고 도움을 주고 있었는지 사실 알지 못했죠. 그럼에도 만약 그 순간으로 다시 돌아간다해도 학생들의 도움을 주고 받는 그 장면을 멈추는 선택을 하진 않았을것 같습니다. 아직은 학생들끼리 협력하는 문화를 만드는 것이 더 중요한 시기라고 생각하기 때문이지요. 제 설명은 따로 가서 보충해줄 수 있지만, 협력의 문화를 만드는 일은 그보다 오래걸리고 힘든일이라 생각하거든요. 그래서 아쉬움보다는 의미있는 지점을 찾아주셨다는 느낌이고, 그러한 도움이 더 활발한 교실이 만들어지면 좋겠다는 바람이 듭니다.
안녕하세요 이번주 너무 바빠 이제야 후기를 올리네요. 작년까지 수학의 발견을 이용하여 수업을 했고 올해는 수학하는 즐거움으로 수업을 하고 있습니다. 작년과 올해는 학교 특성이 매우 달라 잘 되는 부분과 안 되는 부분이 서로 상이하지만 아이들이 가만히 앉아서 듣는 수업이 아닌 스스로 생각하게 하는 수업이라는 점에서 좋은 수업이라고 생각합니다. 수업일을 기준으로 그 다음주(즉 어제)에 저도 그 수업을 할 차례였기에 더 관심과 궁금중이 있었습니다. 아이들이 과연 이 상황을 이해하고 식을 세우고 이차방정식의 개념과 연결지어 인수분해의 필요성을 인식할수 있을까? 그런데 선생님의 수업을 보니 충분히 가능하겠다는 생각이 들었습니다. 아이들이 충분히 흥미를 가질만한 소재인 붕어빵응 이용하여 시작했고 이에 흥미로운 이야기도 오갔습니다. 학생: "붕어빵 가격이 싸다고 판매량이 올라가진 않을것 같아요 오히려 내려갈것 같아요" 교사: "왜?" 학생 : "싼게 비지떡이니까? 뭐가 들어있을지 몰라서?" 재밌는 대화였습니다. 그리고 시작을 붕어빵 1개의 가격과 판매량(일정한 규칙이 있는), 그리고 수익을 표에 채우는 것이다 보니 기초학력이 부족한 아이들고 그 표를 채우기 위해 서툴게나마 계산을 하고 있는 모습이 좋았습니다. 물론 아쉬운 부분도 있었습니다. 선생님의 의도대로 이차식과 인수분해된 식이 같음을 알고 인수분해된 식이 지우가 손해보지 않는 가격의 범위를 구하기에(이차방정식의 해를 구하기) 쉽다는 것을 통해 인수분해의 필요성을 인식하기를 바랬는데 그것이 잘 안되서 아쉬우셨을것 같아요. 이 지점을 집중적으로 협의회를 한 결과 좋은 아이디어가 많이 나왔습니다. 가격의 범위를 150~650이 아닌 추측하기에 어려운 값으로 해보면 어떨까? 계산이 쉽다는 의견이 많아서 계산을 좀 줄이기 위해 계산기릉 나누어주면 어떨까? 표의 빈칸을 조금만 놔두면 어떨까? 가격의 범위를 강조하고 그 끝 값을 강조하기 위해 그래프에서 그 범위를 색칠해 보게 하면 어떨까? 여러가지 의견이 있었습니다. 선샌님의 선택은 무엇일지 궁금한 마음을 가지고 모임을 마쳤습니다. 금요일 오후 수업을 바꾸고 관외로 출장을 가는게 쉬운 일이 아닌데 모임을 마치고 나니 오길 참 잘했다는 생각이 들었습니다. 선생님의 의도대로 수업을 보고 같이 논의 하는 과정이 좋았습니다. 준비해주신 두 분 선생님께 감사함을 전합니다. 참고로 저의 선택은 가격의 범위를 구하기 어렵게 바꾸고 그래프에 손해보지않는 범위를 그려보는 것이었습니다. 120~680으로 바꿔서 어제 수업을 했는데요. 아이들 추측이 다양하게 나왔고 대입을 통해 답을 확인하고 인수분해된 식과 원래 식을 비교하면서 (물론 계산을 하기 쉽다는 의견이 나왔고 제가 인수분해쪽으로 유도를 했지만) y값이 0이 되는 즉 이차방정식의 해릉 구하기에 편이라다 120을 대입하면 680을 대입라면 괄호 안의 식의 값이 0이 되니까~ 수업을 성공적으로 마무리 했네요^^
제 선택도 선생님 선택하고 같아요. 저도 숫자를 바꿀거 같은데 좋은 예시를 주셔서 감사합니다. 120~680으로 수정해봐야겠어요!!! 좋은 아이디어와 후기까지 공유해주셔서 감사합니다!!
다른 일로 해당 주제에 대해 고민하다, 스토리를 조금 수정하면 좋겠다는 아이디어가 떠올랐습니다. 최대값이 아닌 0이 되는 값에 주목하기 위한 새로운 스토리는 다음과 같습니다. 장사를 새로 시작하려는 지우는 오픈초기에는 최대한 저렴한 가격에 그러면서도 손해는 보지 않을 가격으로 판매하여 최대한 많은 손님을 모으고 가게의 인지도를 높이겠다는 목표를 설정하는 것입니다. 그리고 추후 가격인상을 위한 고민의 시기에 이차함수의 꼭지점에 대해 학습할 수 있도록 하면 좋을듯합니다!!!
오늘의 수업 후기를 읽어보니 정말 흥미로운 내용이었던 것 같아요! 학생들에게 다항식의 전개보다는 인수분해의 필요성을 느끼게 하는 것이 정말 의미 있는 목표였고, 다양한 개념들을 자연스럽게 스며들게 하는 방법이 정말 신선했어요. 핵심 과제도 기대가 되는데, 더 많은 내용을 기대할게요! 함께 공부하는 모습이 정말 멋지네요. 함께 공부하고 나누는 공동체 정말 대단하시네요!